Matematika existuje od počátku. Pokud se má věřit objevu kosti Ishango (před více než 20.000 XNUMX lety), mohl to být první důkaz znalosti prvních prvočísel a násobení, ale téma zůstává kontroverzní. Zatímco matematika zůstává pro mnohé z nás záhadou, někteří ji považují za skvělý způsob, jak pochopit a analyzovat svět. V matematice existují perfektní číslaNěco, co mnoho lidí neví.
V tomto článku vám řekneme vše, co potřebujete vědět o dokonalých číslech v matematice a jejich charakteristikách.
co jsou dokonalá čísla
Dokonalá čísla jsou o nalezení Mersennových prvočísel. Ve skutečnosti Tvrzení 36 Knihy IX Euklidových prvků říká, že pokud je Mersennovo číslo 2n – 1 prvočíslo, pak 2n-1 (2n – 1) je dokonalé číslo.
René Descartes potvrdil v dopise Masonovi, že jakékoli sudé číslo bylo Euklides, ale svou teorii neprokázal. Místo toho švýcarský matematik Leonhard Euler Jako první předvedl karteziánské pozorování. Kombinace výsledků Euklida a Eulera umožňuje získat kompletní charakterizaci dokonalých čísel.
První čtyři dokonalá čísla jsou známa již od starověku. Objevují se v dílech Nico Marcos de Graça a Theon de Smyrna. Páté dokonalé číslo je zmíněno v latinském zákoníku z roku 1456. Šesté a sedmé dokonalé číslo objevil Cataldi v XNUMX. a osmý Euler v roce 1772.
Na začátku 1950. let jsme tedy znali dokonalých 12 čísel, ale pak se díky GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) vyhledávání zrychlilo se stále sofistikovanější technologií a používáním počítačů v 1990. letech.
Na co jsou
Jestliže mnoho matematiků považuje prvočísla za základ aritmetiky, pak dokonalá čísla nemají žádné zvláštní využití, protože se nepoužívají k řešení rovnic, faktoru nebo vstupu do oblasti kryptografie. V dávných dobách byli považováni za nadřazené a někdo v tom viděl mystickou roli: „Šest samo o sobě je dokonalé číslo, ne proto, že Bůh stvořil vše za šest dní, ale protože Bůh stvořil vše za šest dní, protože počet je dokonalý“ – Svatý Augustin v Božím městě (420 n. l.)
Jsou jednou ze záhad matematiky a hledání nových dokonalých čísel stále fascinuje mnoho matematiků. Abychom lépe porozuměli této fascinaci, můžeme prozkoumat, jak tato čísla souvisí s koncepty v jiných oblastech, jako je např Velká jezera Severní Ameriky, kde lze pozorovat přírodní vzory. The nejlepší místa k vidění oblohy nám může poskytnout pohled na dokonalost v přírodě.
Existuje mnoho dohadů o dokonalých číslech. Dohad je pravidlo, které nebylo nikdy prokázáno. Tady jsou tři:
- Euklidova dokonalá čísla jsou všechna sudá čísla, protože jedním z faktorů je mocnina 2. Ale neexistuje žádný důkaz, který by dokazoval, že neexistují žádná lichá dokonalá čísla;
- Všechna známá dokonalá čísla končí 6 nebo 28, ale není tomu tak vždy;
- Nebylo také prokázáno, že existuje skutečně nekonečně mnoho dokonalých čísel.
jaká jsou dokonalá čísla
Dokonalá čísla jsou vzácná. I když všichni matematici souhlasí s tím, že jich je nekonečně mnoho (nikdy nebylo prokázáno), dnes jich známe jen 50 a nemůžeme si být ani jisti, že od 47 neexistuje žádné dokonalé střední číslo.
Poslední dokonalé číslo bylo objeveno v lednu 2018. Objev nového velmi velkého prvočísla znamená objev nového dokonalého čísla, kterým je objev čísla 2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1.
Existují pouze tři dokonalá čísla menší než 1000: 6, 28 a 496. Zřejmě i dokonalá čísla končí 6 nebo 8, i když to nebylo nikdy prokázáno, ne vždy tomu tak je.
Sudá dokonalá čísla ve vzorci 2n-1 (2n – 1) jsou trojúhelníková (nebo dokonce hexagonální) čísla. Na druhou stranu všechna sudá čísla kromě prvního dokonale sudého čísla jsou součtem 2(n-1)/2 kostek prvních lichých čísel. Například:
- 28 = 13+ 33,
- 496 = 13+ 33 + 53 + 73,
- 8128 = 13+ 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153.
Prvních osm dokonalých čísel je:
- 6
- 28
- 496
- 8128
- 33 550 336
- 8.589.869.056
- 137.438.691.328
- 2 305 843 008 139 952 128.
Nějaká historie
Saint Augustine, také známý jako Augustine of Hippo (354-430), fByl to římský filozof, spisovatel, matematik a kněz. Pokud jste studovali předmět filozofie, bude vám toto jméno povědomé, protože jde o jednoho z filozofů, kteří tento předmět obvykle studují. Stejně jako mnoho jiných intelektuálů své doby byl svatý Augustin jedním z těch, kteří rozvíjeli a prohlubovali znalosti v oblastech od filozofie po matematiku, přičemž bylo k vidění mnohem více, než si dnes dokážeme představit.
Augustin z Hrocha řekl, že dokonalá čísla mají svůj důvod existovat. Ve svém díle The City of God vysvětlil, že 6 je dokonalé, protože Bůh stvořil svět za šest dní. Další číslo, 28, odpovídá počtu dní, za které Měsíc oběhne Zemi. Toto tvrzení není bez kontroverze: náhoda nebo ne? Chcete-li se dozvědět více o číslech a jejich vlastnostech, je zajímavé se poradit nejvýznamnější cenoty v Mexiku a dozvědět se o matematice nalezené v přírodě.
Pro další dvě čísla není uvedeno žádné vysvětlení. Jsou to 496 a 8128. První čtyři čísla objevil již v XNUMX. století našeho letopočtu Nicomachus z Gerasy, filozof a matematik, který žil ve starověkém městě Decapolis, dnešním Jordánsku, které patřilo Římské říši.
Abychom našli páté dokonalé číslo, museli jsme udělat velký skok v historii, dokud jsme nedosáhli patnáctého století, protože páté dokonalé číslo 33 550 336 se objevilo v rukopisech z tohoto století. Šestý a sedmý, 8.589.869.056 a 137.438.691.328, objevil o století později, v roce 1588, italský matematik Pietro Cataldi.
Stejně jako dokonalá čísla je znám pouze konečný počet Mersennových čísel. Čísla jsou pojmenována po Marinu Masonovi, muž, který o nich odhalil řadu hypotéz. Mason byl francouzský filozof, matematik a kněz (1588-1648).
Byl to Euler, kdo objevil tato speciální čísla, díky základu, který položil Mason. Leonhard Paul Euler (1707-1783) byl švýcarský matematik a fyzik. Jeho jméno vám už samozřejmě bude povědomé, protože najít perfektní osmé číslo nebylo jeho jediným úspěchem. Své jméno také dostal podle Eulerova čísla (e), který se používá v mnoha fyzikálních a výpočtových vzorcích.
